纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是五种数学证明法律妙招,常用于证明命题(命题是对某个什么的问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了但会 但会 领域(比如数学分析)的基础,就说数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法五种非常简单。将会当我们当我们当我们但是证明某个命题对于自然数n都成立,非要 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里边的四个多多 多步骤。它们实际上愿因 ,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。但会 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,当我们当我们当我们挑选n的倒下会愿因 n + 1的倒下,但会 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

当我们当我们当我们来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你你是什么 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,需要算出1到50的累加,能够回家。于是高斯想出了里边的法律妙招。天才还会被逼出来的么?)

当我们当我们当我们的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,但会 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    非要 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。但会 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

但会 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指四个多多 多计算机进程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求进程四个多多 多多能够达到的终止条件(base case)。比如下面的进程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在进程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。但是得到f(n),需要计算f(n-1);但是f(n-1),需要计算f(n-2)……直到f(1)。将会当我们当我们当我们将会知道了f(1)的值,当我们当我们当我们就能不能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的进程实现。使用递归设计进程的但是,当我们当我们当我们设置base case,并假设当我们当我们当我们会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,当我们当我们当我们只关注初始和衔接,而需要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据內部实现的。正如当我们当我们当我们里边所说的,计算f(n),需要f(n-1);计算f(n-1),需要f(n-2)……。当我们当我们当我们在寻找到f(1)但是,会有但会 空缺: f(n-1)的值什么? f(n-2)的值是什么? …… f(2)的值是什么?f(1)的值是什么? 当我们当我们当我们的第四个多多 多什么的问题是f(n)是什么,结果,你你是什么 什么的问题引出下四个多多 多什么的问题,再下四个多多 多什么的问题…… 每个什么的问题的解答都依赖于下四个多多 多什么的问题,直到当我们当我们当我们找到第四个多多 多能不能回答的什么的问题: f(1)的值是什么?

当我们当我们当我们用栈来保存当我们当我们当我们在探索过程中的什么的问题。C语言中,函数的调用将会是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,就说很自然的,递归用栈来保存当我们当我们当我们的“什么的问题” 。

当我们当我们当我们假设栈向下增长。首先,当我们当我们当我们调用f(50),非要 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(50)暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。但是 调用f(99),栈增加四个多多 多frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

但会 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(50),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(50)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也能不能自行手动实现栈。本来能不能得到更好的运行带宽。

总结

数学归纳法

递归

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